Bileşik Faiz ve 72 Kuralı

Özet (TL;DR)

10 milyon KRW’ye %6 yıllık bileşik uygulayıp 30 yıl çalıştırın, 57,43 milyon KRW’ye ulaşırsınız — 5,74 katlık bir çarpan. Bileşik faizi sihir gibi tarif edilen yerden duyduysanız, bu sayı hafif hayal kırıklığı yaratabilir. Yüz kat değil, on kat bile değil, altıya biraz eksik. Bileşik, hızlı iki katına çıkaran bir büyü değildir; sessiz, yönsel olarak acımasız bir fonksiyondur. Bu yazının tonu buna yakın — zaferci olmaktan çok sabırlı, çarpmanın heyecanı hakkında değil, on yıllar boyunca bir pozisyonu tutma deneyimi hakkında yazılmış.

Basit faiz, orijinal ana paraya dayalı olarak her dönem size sabit bir tutar alır veya öder: FV = PV · (1 + r · t). Bileşik faiz, her dönemin faizinin ana paraya katılmasına ve kendisinin de faiz kazanmasına izin verir: FV = PV · (1 + r)ᵗ. Fark birinci yılda küçük, otuzuncu yılda devasadır; Einstein’ın bileşik faiz için apokrifik biçimde “dünyanın sekizinci harikası” dediği söylenmesinin nedeni budur. 72 Kuralı, zihinsel aritmetik kısayoludur: yıllık r yüzde oranı için, yıl cinsinden ikiye katlama süresi yaklaşık 72 / r’dir. %6 getiri yaklaşık 12 yılda ikiye katlanır; %9 getiri yaklaşık 8 yılda. Kural, tam cevap ln(2) / ln(1 + r) ≈ 0,693 / r’nin bir yaklaşımıdır; 72, daha saf 69,3 yerine 2, 3, 4, 6, 8, 9 ve 12’ye düzgün bölündüğü için seçilir. Yaklaşım %5–10 aralığındaki oranlar için en sıkıdır, günlük planlama için yeterince yakındır ve borç, ücret ve enflasyon için tersine tasarruf lehinize çalıştığı kadar acımasız çalışır.

Arka plan ve kavramlar

Paranın bir zaman değeri vardır. Bugünün bir doları, bir yıl sonrakine tercih edilir; çünkü bugünün doları yatırılabilir, harcanabilir veya belirsizliğe karşı tutulabilir. Faiz, zamanın fiyatıdır: bir borç veren, sonradan daha büyük bir ödeme için mevcut tüketimden vazgeçer; bir borç alan, sonradan daha fazla ödemeyi kabul ederek mevcut tüketim alır.

Basit faiz, her dönemi bağımsız olarak ele alır. Ana para PV ve dönem başına oran r ile, t dönemden sonra gelecekteki değer FV = PV · (1 + r · t) olur. %5 basit faizde 100.000 birimlik bir mevduat, bir yıl sonra 105.000, iki yıl sonra 110.000, üç yıl sonra 115.000 döner. Faiz yalnızca orijinal ana para üzerinden ödenir; önceki faiz kendisi faiz kazanmaz.

Bileşik faiz, her dönemin faizini ana paraya yeniden yatırır. FV = PV · (1 + r)ᵗ. %5 yıllık bileşik faizli aynı 100.000, bir yıl sonra 105.000, iki yıl sonra 110.250, üç yıl sonra 115.762,50 olur. Başlangıçta boşluk küçüktür. On yıllar içinde sonuçta baskın güç haline gelir.

Bileşiklik sıklığı, belirli bir nominal oran içinde önemlidir. %6 nominal oranda aylık bileşiklik, her biri %0,5 olan on iki dönem anlamına gelir ve (1 + 0,06/12)¹² − 1 ≈ %6,17 etkin yıllık oran verir. Günlük bileşiklik etkin oranı ≈ %6,18’e iter. Sürekli bileşiklik — sonsuz sıklıkta bileşikliğin matematiksel sınırı — eʳ − 1 ≈ %6,18 verir. Aylık ile sürekli arasındaki fark gerçek ama küçüktür; aynı nominal oranda yıllık ile sürekli arasındaki fark, çoğu açıklama belgesinin “APR vs APY” veya Kore bankacılık dilinde “명목금리 대 실효금리” ile kastettiği şeydir.

72 Kuralı, bir varlığın bileşik büyüme altında ikiye katlama süresini yaklaşıklar. (1 + r)ᵗ = 2 kurup çözmek t = ln(2) / ln(1 + r) verir. Küçük r için, ln(1 + r) ≈ r, dolayısıyla t ≈ ln(2) / r ≈ 0,693 / r. r’yi yüzdeye çevirmek t ≈ 69,3 / r% verir ve 72’ye yuvarlamak, birçok tam sayıya küçük bir doğruluk maliyetiyle düzgün bölünen bir sayı üretir. %5–10 aralığındaki oranlar için 72 yaklaşımı bir yılın kesri içinde doğrudur; çok düşük oranlar için 70 veya hatta 69 kullanmak biraz daha yakındır.

Karşılaştırma ve veriler

30 yıl boyunca yıllık bileşikle 10 milyon KRW’lik ilk mevduatı düşünün. Aşağıdaki tablo üç temsili oranda yaklaşık gelecek değerleri gösterir.

Yıllık oran	30 yıl sonra gelecek değer (yaklaşık)	İkiye katlama süresi (72 Kuralı)
%3	≈ 24,3 milyon KRW	≈ 24 yıl
%6	≈ 57,4 milyon KRW	≈ 12 yıl
%9	≈ 132,7 milyon KRW	≈ 8 yıl

Sayfadan iki şey fırlıyor. Birincisi, %3’ten %6’ya sıçrama terminal değeri kabaca ikiye katlar ve %6’dan %9’a sıçrama onu kabaca yeniden ikiye katlar — fonksiyon oranda üsteldir. İkincisi, ikiye katlama süresi sütunu aynı şekli sezgisel kılar: %9’da 30 yılda kabaca dört ikiye katlama alırsınız (orijinal mevduat birimlerinde 10 → 20 → 40 → 80 → 160); %3’te bir kereden biraz fazlasını alırsınız.

Aynı matematik maliyetler için ters çalışır. %7 büyüyen bir portföye yıllık %1 ücret, yatırımcıya etkili olarak %6 bırakır ve 30 yıl boyunca o tek yüzde puanı, ücretsiz bir alternatife göre terminal değeri kabaca %24–25 düşürür (yaklaşık olarak 1 − (1,06/1,07)³⁰). Küçük ücretler, enflasyon ve borç faizi hepsi aynı üstel güçle bileşikleşir.

Gerçek senaryolar

Senaryo 1 — Emeklilik planlaması. İki kişi 25 ve 35 yaşında tasarrufa başlayıp 65’e kadar ayda 300.000 KRW katkıda bulunur. %7 yıllık getiride, 25 yaşındaki kişinin 65 yaşındaki bakiyesi yaklaşık 746 milyon KRW’ye iner; 35 yaşındakinin yaklaşık 365 milyon KRW’ye. 25 yaşındaki kişi toplamda 144 milyon KRW katkıda bulunur, yalnızca 35 yaşındakinin 108 milyon KRW’sinden kabaca %33 daha fazla — yine de kabaca iki kat yuvarlak kale ile emekli olur. Erken yıllar orantısız biçimde önemlidir; çünkü sonraki tüm kariyer boyunca bileşikleşirler. Otuzlu yaşlarının başında iki arkadaşımı bu sayılardan geçirdiğimde biri IRP otomatik mevduatını ertesi ay 50.000 KRW’den 250.000 KRW’ye çıkardı; diğeri “otuz yıl gerçek dışı hissediyor” dedi ve erteledi. Bu ikinci yanıt, bu yazının asla çözemeyeceği insan değişkeni.

Senaryo 2 — Endeks fonu büyümesi. Çok uzun zaman ufuklarında geniş pazar endeks fonları tarihsel olarak tipik tasarruf hesabı getirilerinin üzerinde bir bantta getiriler sağlamıştır. Belirli uzun vadeli ortalamalar pazara, ölçülen döneme, getirinin para birimine ve temettülerin yeniden yatırılıp yatırılmadığına göre değişir ve geçmiş getiriler gelecekteki getirilerin garantisi değildir. Matematiğin garanti ettiği şey, yıllık getirideki küçük farkların on yıllarca bileşikleştirildiğinde bir perakende tasarrufçunun aldığı hemen her diğer karara baskın geldiğidir.

Senaryo 3 — Ücret etkisi. Yıllık %1 alan bir fon, eşdeğer %0,05’lik bir fona karşı, 30 yıllık bir kariyer boyunca yatırımcının terminal servetini kabaca dörtte bir azaltabilir. Tam rakam 1 − (1,06/1,07)³⁰ ≈ 0,245’tir, %24,5’lik bir sürüklenme. Aynı 30 yıl boyunca aynı pazara maruz kalan iki yatırımcı, tamamen maliyet farkından, örneğin 800 milyon KRW ve 600 milyon KRW’de sonlanabilir. Bu, pasif yatırım hareketinin arkasındaki merkezi argümandır: uzun vadeli getirilerde en güvenilir şekilde kontrol edilebilir değişken maliyettir ve maliyetin bir yüzde puanı, getirinin bir yüzde puanı kadar sert bileşikleşir — ve getirilerin aksine maliyetler izahnameye yazılır ve determinisk davranır.

Senaryo 4 — Tersine borç. %20 APR’de devreden ve minimum ödenen kredi kartı bakiyeleri, aynı üstel şekilde borçluya karşı bileşikleşir. %20’deki bir bakiye, hiçbir şey ödenmezse kabaca 3,6 yılda ikiye katlanır. Finansal danışmanların emeklilik hesaplarına işveren eşleşmesinin ötesinde katkıda bulunmadan önce neredeyse evrensel olarak yüksek faizli borcu emekliye ayırmayı önceliklendirmesinin nedeni budur: bileşik matematik ters yönde (kredi kartındaki oran sözleşmelidir) ileri yönden (portföydeki oran bir umuttur) daha güvenilirdir.

Yaygın yanlış anlamalar

“Küçük ücretler önemli değildir.” 30 yıl boyunca yıllık %1 ücret, %0 ücret alternatifine göre terminal serveti kabaca dörtte bir azaltır. Ücretler getiriler kadar sert bileşikleşir ve getirilerin aksine sözleşmeli ve öngörülebilirdir.

“72 Kuralı kesindir.” ln(2) / ln(1 + r)‘nin bir yaklaşımıdır. %5–10 aralığındaki oranlar için en sıkıdır. Çok düşük oranlarda (%1–2 civarında) 70 veya 69 kullanmak çok az daha yakındır; çok yüksek oranlarda yaklaşım genişler. Günlük zihinsel planlama için 72 yeterince iyidir.

“Tarihsel getiriler garantilidir.” Değildir. Uzun ufuklu ortalamalar, çok farklı makroekonomik rejimlerin ve hayatta kalma önyargısının on yıllarını içerir. Beklenen getirileri, hata için kasıtlı bir marjla bir planlama varsayımı olarak kullanın ve gerçeklik güncelledikçe varsayımı yeniden dengeleyin.

“Katkı boyutu zamandan daha önemlidir.” Kariyerinin başındaki bir tasarrufçu için, ek yıllar bileşikleşme genellikle sonradan katkıda bulunulan ek dolarlara baskın gelir. Bu, “şimdi başla, küçük bile olsa” tavsiyesinin arkasındaki çekirdek sezgidir. Sezgi yine de bir akıl sağlığı kontrolünü hak eder — 30 yıl vs 20 yıl boşluğu kabaca bir ikiye katlamadır ve aylık katkısını inandırıcı biçimde ikiye katlayabilen bir tasarrufçu kaybedilen zamanın çoğunu geri kazanabilir. Zaman ve katkı boyutu kısmi ikame edicidir; hangisinden daha fazlanıza sahip olduğunuz kişiden kişiye değişir.

Kontrol listesi

1. Bileşikleşiyor musunuz? Ürünün faizi veya temettüleri aslında otomatik olarak yeniden yatırdığını onaylayın; basit faiz bazı kısa vadeli araçlar için hâlâ yaygındır.
2. Hangi oranda ve hangi sıklıkta? Yıllık, aylık, günlük veya sürekli — hangisini doğrulayın ve ürünleri karşılaştırıyorsanız etkin yıllığa dönüştürün.
3. 72 Kuralı ikiye katlama süresi nedir? 72 / yüzde-cinsinden-oran. Herhangi bir çok onyıllık plan üzerinde hızlı bir akıl sağlığı kontrolü.
4. Ücretler size terminal servette ne pahasına olur? Ücreti orandan çıkarın ve 30 yıllık projeksiyonu yeniden yapın.
5. Borç size karşı bileşikleşiyor mu? Yüksek faizli borç, herhangi bir işveren eşleşmesinin üzerindeki yatırım katkılarına göre genellikle önceliği hak eder.
6. Düşük oranlar için 70 kullandınız mı? %1–2’de 70, 72’den biraz daha yakındır.

İlgili araç

Patrache Studio bileşik faiz hesaplayıcısı, ana para, oran, bileşiklik sıklığı ve katkı programını değiştirmenize olanak tanır; böylece yukarıdaki soyut formüller kendi tasarruf yörüngenizin somut bir grafiği haline gelir. Aynı matematiğin borç tarafı için, Kredi Ödeme Türleri: Amortize, Eşit Ana Para ve Bullet Karşılaştırması, uzun bir amortize kredide ön yüklü faizin borçlunun bileşiklik okunun tarafı olduğunu gösterir. Uzun vadeli portföyünüz yabancı para tutumları içeriyorsa, Döviz Kuru Türleri: Piyasa, Nakit ve Havale FX maliyet katmanını kapsar — çünkü %1 FX spread’i 30 yıl boyunca tam olarak %1 ücret gibi bileşikleşir.

Kaynaklar

• ABD Menkul Kıymetler ve Borsa Komisyonu, Investor.gov — https://www.investor.gov/
• Bogleheads Wiki (topluluk referansı, pasif yatırım temelleri için yaygın olarak kullanılır; yetkili bir düzenleyici değildir) — https://www.bogleheads.org/wiki/
• Paranın zaman değeri türetmeleri ve nominal, etkin ve sürekli bileşiklik arasındaki ilişki için herhangi bir giriş kurumsal finans veya yatırım ders kitabı (Brealey/Myers/Allen; Bodie/Kane/Marcus).