Intérêt composé et règle de 72

Résumé (TL;DR)

Faites tourner 30 ans de composition annuelle sur 10 millions KRW à 6 % et vous obtenez 57,43 millions KRW — un multiple de 5,74×. Si vous avez entendu décrire l’intérêt composé comme de la magie, ce chiffre peut sembler légèrement décevant. Ce n’est pas cent fois, pas même dix fois, juste en dessous de six. La composition n’est pas un sort de doublement rapide ; c’est une fonction tranquille, directionnellement implacable. Le ton de ce billet penche vers cela — plus proche de patient que de triomphant, écrit sur une expérience de tenir une position à travers des décennies plutôt que sur un frisson de multiplication.

L’intérêt simple vous facture ou vous paie un montant fixe chaque période basé sur le principal original : FV = PV · (1 + r · t). L’intérêt composé laisse l’intérêt de chaque période rejoindre le principal et gagner lui-même de l’intérêt : FV = PV · (1 + r)ᵗ. La différence est petite en année un et énorme en année trente, ce qui explique pourquoi Einstein aurait apocryphiquement appelé l’intérêt composé « la huitième merveille du monde ». La règle de 72 est un raccourci d’arithmétique mentale : pour un taux annuel de r pour cent, le temps de doublement en années est approximativement 72 / r. Un rendement de 6 % double en environ 12 ans ; un rendement de 9 % en environ 8. La règle est une approximation de la réponse exacte ln(2) / ln(1 + r) ≈ 0,693 / r ; 72 est choisi à la place du plus pur 69,3 parce qu’il se divise proprement par 2, 3, 4, 6, 8, 9 et 12. L’approximation est la plus serrée pour les taux dans la plage 5–10 %, assez proche pour la planification quotidienne, et elle fonctionne tout aussi brutalement à l’envers pour la dette, les frais et l’inflation qu’elle le fait en votre faveur pour l’épargne.

Contexte et concepts

L’argent a une valeur temporelle. Un dollar aujourd’hui est préférable à un dollar dans un an, parce que le dollar d’aujourd’hui peut être investi, dépensé ou détenu contre l’incertitude. L’intérêt est le prix du temps : un prêteur renonce à la consommation présente pour un paiement plus grand plus tard ; un emprunteur prend la consommation présente en échange de payer plus plus tard.

L’intérêt simple traite chaque période indépendamment. Avec un principal PV et un taux par période r, après t périodes la valeur future est FV = PV · (1 + r · t). Un dépôt de 100 000 unités à 5 % d’intérêt simple retourne 105 000 après un an, 110 000 après deux, 115 000 après trois. L’intérêt est payé uniquement sur le principal original ; l’intérêt précédent ne gagne pas lui-même d’intérêt.

L’intérêt composé réinvestit l’intérêt de chaque période dans le principal. FV = PV · (1 + r)ᵗ. Les mêmes 100 000 à 5 % d’intérêt composé annuel deviennent 105 000 après un an, 110 250 après deux, 115 762,50 après trois. Tôt, l’écart est petit. Sur des décennies, il devient la force dominante dans le résultat.

La fréquence de composition importe dans un taux nominal donné. Une composition mensuelle à un taux nominal de 6 % signifie douze périodes de 0,5 % chacune, donnant un taux annuel effectif de (1 + 0,06/12)¹² − 1 ≈ 6,17 %. Une composition quotidienne pousse le taux effectif à ≈6,18 %. La composition continue — la limite mathématique d’une composition infiniment fréquente — donne eʳ − 1 ≈ 6,18 %. La différence entre mensuel et continu est réelle mais petite ; la différence entre annuel et continu au même taux nominal est ce que la plupart des documents de divulgation désignent par « APR vs APY » ou, dans le langage bancaire coréen, « 명목금리 대 실효금리 ».

La règle de 72 approxime le temps de doublement pour un actif en croissance composée. En posant (1 + r)ᵗ = 2 et en résolvant on obtient t = ln(2) / ln(1 + r). Pour un petit r, ln(1 + r) ≈ r, donc t ≈ ln(2) / r ≈ 0,693 / r. Convertir r en pourcentage donne t ≈ 69,3 / r%, et arrondir à 72 produit un nombre qui se divise proprement par de nombreux entiers à un petit coût en précision. Pour les taux dans la plage 5–10 %, l’approximation de 72 est précise à une fraction d’année près ; pour des taux très bas, utiliser 70 ou même 69 est légèrement plus proche.

Comparaison et données

Considérez un dépôt initial de 10 millions KRW composé annuellement pendant 30 ans. Le tableau ci-dessous montre les valeurs futures approximatives à trois taux représentatifs.

Taux annuel	Valeur future après 30 ans (approx.)	Temps de doublement (règle de 72)
3 %	≈ 24,3 millions ₩	≈ 24 ans
6 %	≈ 57,4 millions ₩	≈ 12 ans
9 %	≈ 132,7 millions ₩	≈ 8 ans

Deux choses sautent aux yeux. D’abord, le saut de 3 % à 6 % double à peu près la valeur terminale, et le saut de 6 % à 9 % la double encore approximativement — la fonction est exponentielle dans le taux. Ensuite, la colonne du temps de doublement rend la même forme intuitive : à 9 % vous obtenez environ quatre doublements en 30 ans (10 → 20 → 40 → 80 → 160, en unités du dépôt original) ; à 3 % vous obtenez à peine plus d’un.

Les mêmes maths fonctionnent à l’envers pour les coûts. Des frais annuels de 1 % sur un portefeuille autrement en croissance de 7 % laissent effectivement l’investisseur avec 6 %, et sur 30 ans ce seul point de pourcentage réduit la valeur terminale d’environ 24–25 % par rapport à une alternative sans frais (approximativement 1 − (1,06/1,07)³⁰). Les petits frais, l’inflation et l’intérêt de la dette se composent tous avec la même force exponentielle.

Scénarios concrets

Scénario 1 — Planification de retraite. Deux personnes commencent à épargner à 25 et 35 ans, contribuant 300 000 KRW par mois jusqu’à 65 ans. À un rendement annuel de 7 %, le solde à 65 ans de la personne de 25 ans atterrit à environ 746 millions KRW ; celui de la personne de 35 ans à environ 365 millions KRW. La personne de 25 ans contribue 144 millions KRW au total, seulement environ 33 % de plus que les 108 millions KRW de la personne de 35 ans — pourtant prend sa retraite avec environ le double du pécule. Les premières années importent disproportionnellement parce qu’elles se composent à travers toute la carrière subséquente. Quand j’ai fait passer deux amis au début de la trentaine à travers ces chiffres, l’un a fait passer son auto-dépôt IRP de 50 000 KRW à 250 000 KRW le mois suivant ; l’autre a dit « trente ans semble irréel » et a reporté. Cette seconde réponse est la variable humaine que cet article ne résoudra jamais.

Scénario 2 — Croissance des fonds indiciels. Sur des horizons très longs, les fonds indiciels de marché large ont historiquement livré des rendements dans une bande bien au-dessus des rendements typiques des comptes d’épargne. Les moyennes spécifiques à long terme varient par marché, période mesurée, devise de rendement et selon que les dividendes sont réinvestis, et les rendements passés ne sont pas une garantie des rendements futurs. Ce que les maths garantissent, c’est que de petites différences de rendement annuel, composées pendant des décennies, dominent presque toute autre décision qu’un épargnant de détail prend.

Scénario 3 — Impact des frais. Un fonds facturant 1 % annuellement contre un fonds équivalent à 0,05 % peut, sur une carrière de 30 ans, réduire la richesse terminale de l’investisseur d’environ un quart. Le chiffre exact est 1 − (1,06/1,07)³⁰ ≈ 0,245, un frein de 24,5 %. Deux investisseurs exposés au même marché pendant les mêmes 30 ans peuvent finir à, disons, 800 millions KRW et 600 millions KRW purement à cause de l’écart de coût. C’est l’argument central derrière le mouvement d’investissement passif : la variable la plus fiablement contrôlable dans les rendements à long terme est le coût, et un point de pourcentage de coût se compose aussi durement qu’un point de pourcentage de rendement — et contrairement aux rendements, les coûts sont écrits dans le prospectus et se comportent déterministement.

Scénario 4 — Dette à l’envers. Les soldes de cartes de crédit qui tournent à 20 % TAEG et sont payés minimalement se composent contre l’emprunteur de la même manière exponentielle. Un solde à 20 % double en environ 3,6 ans si rien n’est payé. C’est pourquoi les conseillers financiers priorisent presque universellement l’élimination de la dette à taux élevé avant de contribuer au-delà d’un employer match aux comptes de retraite : les maths de composition sont plus fiables à l’envers (le taux sur une carte de crédit est contractuel) que dans la direction avant (le taux sur un portefeuille est un espoir).

Idées fausses courantes

« Les petits frais n’importent pas. » Des frais annuels de 1 % sur 30 ans réduisent la richesse terminale d’environ un quart par rapport à une alternative à 0 % de frais. Les frais se composent aussi durement que les rendements, et contrairement aux rendements ils sont contractuels et prévisibles.

« La règle de 72 est exacte. » C’est une approximation de ln(2) / ln(1 + r). Elle est la plus serrée pour les taux dans la plage 5–10 %. À des taux très bas (environ 1–2 %), utiliser 70 ou 69 est marginalement plus proche ; à des taux très élevés, l’approximation s’élargit. Pour la planification mentale quotidienne, 72 est assez bon.

« Les rendements historiques sont garantis. » Ils ne le sont pas. Les moyennes à horizon long incluent des décennies de régimes macroéconomiques très différents et un biais de survivance. Utilisez les rendements attendus comme hypothèse de planification avec une marge d’erreur délibérée, et rééquilibrez l’hypothèse à mesure que la réalité se met à jour.

« La taille de la contribution importe plus que le temps. » Pour un épargnant tôt dans sa carrière, les années supplémentaires de composition dominent souvent les dollars supplémentaires contribués plus tard. C’est l’intuition centrale derrière le conseil « commencez maintenant, même petit ». L’intuition mérite néanmoins une vérification de bon sens — l’écart 30 ans vs 20 ans est approximativement un doublement, et un épargnant qui peut crédiblement doubler sa contribution mensuelle peut récupérer une grande partie du temps perdu. Le temps et la taille de contribution sont des substituts partiels ; lequel vous avez plus diffère selon la personne.

Liste de vérification

1. Composez-vous ? Confirmez que le produit réinvestit effectivement l’intérêt ou les dividendes automatiquement ; l’intérêt simple est encore courant pour certains instruments à court terme.
2. À quel taux et quelle fréquence ? Annuelle, mensuelle, quotidienne ou continue — confirmez laquelle, et convertissez en annuel effectif si vous comparez des produits.
3. Quel est le temps de doublement de la règle de 72 ? 72 / taux-en-pourcentage. Une vérification rapide de bon sens sur tout plan pluri-décennal.
4. Que vous coûtent les frais en richesse terminale ? Soustrayez les frais du taux et refaites la projection sur 30 ans.
5. La dette se compose-t-elle contre vous ? La dette à taux élevé mérite généralement la priorité sur les contributions d’investissement au-dessus de tout employer match.
6. Avez-vous utilisé 70 pour des taux bas ? À 1–2 %, 70 est légèrement plus proche que 72.

Outil associé

Le calculateur d’intérêt composé Patrache Studio vous laisse varier principal, taux, fréquence de composition et calendrier de contribution, pour que les formules abstraites ci-dessus deviennent un graphique concret de votre propre trajectoire d’épargne. Pour le côté dette des mêmes maths, Types de paiement de prêt : amorti vs capital égal vs in fine montre comment l’intérêt chargé en début de période sur un prêt amortissant long est le côté emprunteur de la flèche de composition. Et si votre portefeuille à long terme inclut des avoirs en devises étrangères, Types de taux de change : marché vs espèces vs virement couvre la couche de coût de change — parce qu’un écart de change de 1 % se compose exactement comme des frais de 1 % sur 30 ans.

Références

• U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov — https://www.investor.gov/
• Wiki Bogleheads (référence communautaire, largement utilisée pour les fondamentaux de l’investissement passif ; pas un régulateur autoritaire) — https://www.bogleheads.org/wiki/
• Tout manuel d’introduction à la finance d’entreprise ou aux investissements (Brealey/Myers/Allen ; Bodie/Kane/Marcus) pour les dérivations de valeur temporelle de l’argent et la relation entre composition nominale, effective et continue.