Сложные проценты и правило 72: симуляция долгосрочного инвестирования

Резюме (TL;DR)

Если 10 млн вон инвестировать на 30 лет под 6 % годовых сложных процентов, получится 57,43 млн вон — рост в 5,74 раза. Если вы привыкли слышать «сложные проценты — это магия», такой множитель может показаться скучным: не 100×, не 50×, всего около 6×. Сложные проценты — это не волшебная скорость, а функция, которая накапливается тихо, но не теряет направления. Тон этой статьи тоже ближе к спокойному: я стараюсь придерживаться эмпирики, как реальность переживает 30 лет, а не восторга.

Простые проценты каждый период начисляют фиксированную сумму только на основной капитал: FV = PV · (1 + r · t). Сложные проценты возвращают проценты в тело капитала, и в следующем периоде они сами приносят доход: FV = PV · (1 + r)ᵗ. Отсюда и тот факт, что в первый год разница маленькая, а на 30-м году огромная. Знаменитая (и документально не подтверждённая) цитата Эйнштейна про «чудо сложного процента» — как раз об этом эмпирическом наблюдении. Правило 72 — короткий устный приём: при годовой доходности r % капитал удваивается примерно за 72 / r лет. При 6 % — около 12 лет, при 9 % — около 8 лет. Точная формула — ln(2) / ln(1 + r) ≈ 0,693 / r, то есть строгое значение — 69,3. Выбирают именно 72, потому что оно делится на 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 — ради читаемости, а не большей точности. Приближение лучше всего работает в диапазоне 5–10 % и для бытового планирования достаточно. И те же экспоненциальные механики, которые помогают накоплениям, с той же безжалостностью работают против вас — по долгам, комиссиям и инфляции.

Предыстория и концепции

У денег есть временная стоимость: сегодняшний рубль (или вон) предпочтительнее такой же суммы через год. Сегодня его можно инвестировать, потратить или оставить как запас против неопределённости. Процент — это цена времени. Кредитор отказывается от текущего потребления и получает позже больше, а заёмщик получает текущее потребление и возвращает позже больше.

Простые проценты трактуют каждый период независимо. Будущая стоимость FV = PV · (1 + r · t) при исходном капитале PV, ставке за период r и числе периодов t. 100 тыс. вон под 5 % простых: через год — 105 тыс., через два — 110 тыс., через три — 115 тыс. Проценты начисляются только на тело, прошлые проценты сами процентов не приносят.

Сложные проценты реинвестируют проценты обратно в тело: FV = PV · (1 + r)ᵗ. Те же 100 тыс. под 5 % годовых сложных: через год — 105 тыс., через два — 110,25 тыс., через три — 115 762,5 вон. В начале разница скромна, на длинных горизонтах — доминирует.

Частота капитализации меняет результат и при одной и той же номинальной ставке. Номинальные 6 % с ежемесячной капитализацией дают 0,5 % двенадцать раз и эффективную ставку (1 + 0,06/12)¹² − 1 ≈ 6,17 %. Ежедневная капитализация — примерно 6,18 %. Непрерывная капитализация (математический предел) — eʳ − 1 ≈ 6,18 %. Разница между ежемесячной и непрерывной капитализацией мала, но реальна, а разница между годовой и непрерывной и есть тот зазор, который в раскрытиях называют «номинальная ставка против эффективной» или в англоязычной терминологии «APR vs APY».

Правило 72 приближает время удвоения при сложных процентах. Из (1 + r)ᵗ = 2 получаем t = ln(2) / ln(1 + r). При малом r ln(1 + r) ≈ r, поэтому t ≈ ln(2) / r ≈ 0,693 / r. Если r в процентах, t ≈ 69,3 / r %; округлённое до 72, оно удобно делится на много целых — маленькая потеря точности за читаемость. В зоне 5–10 % ошибка меньше года; при очень низких ставках чуть точнее 70 или 69.

Сравнение и данные

Начальный капитал 10 млн вон, 30 лет, сложные проценты раз в год — приближённые значения для распространённых доходностей.

Годовая доходность	Будущая стоимость через 30 лет (приближённо)	Срок удвоения (правило 72)
3 %	около 24,3 млн вон	около 24 лет
6 %	около 57,4 млн вон	около 12 лет
9 %	около 132,7 млн вон	около 8 лет

Из таблицы сразу бросается в глаза две вещи. Во-первых, при переходе с 3 % на 6 % конечная сумма примерно удваивается; с 6 % на 9 % — снова почти удваивается: функция экспоненциально зависит от доходности. Во-вторых, колонка «срок удвоения» интуитивно показывает то же самое. При 9 % за 30 лет удвоение происходит примерно 4 раза (1 → 2 → 4 → 8 → 16 условных единиц), а при 3 % — едва однажды.

Та же математика работает и со стороны расходов. Если на портфеле, который рос бы на 7 %, брать 1 % комиссии в год, доходность для инвестора становится 6 %, и за 30 лет конечный капитал ужимается примерно на 24–25 % по сравнению с вариантом без комиссии (приблизительно 1 − (1,06/1,07)³⁰). Мелкая комиссия, инфляция и процент по долгу — всё складывается в тот же экспоненциальный эффект.

Практические сценарии

Сценарий 1 — пенсионное планирование. Пусть A начинает в 25, B — в 35, оба вносят 300 тыс. вон в месяц до 65 лет при 7 % годовых сложных. На 65-летии у A получается около 746 млн вон, у B — около 365 млн вон. Суммарно A внёс 144 млн вон (против 108 у B), то есть всего на 33 % больше, а итоговый капитал вышел примерно в два раза больше. Первые годы капитализируются на протяжении всей оставшейся жизни, поэтому их вес непропорционально велик. Я как-то показал эти числа двум друзьям: один со следующего месяца поднял автоотчисления в IRP с 50 тыс. до 250 тыс. вон, другой отложил решение, сказав, что «30 лет звучат нереально», — это человеческий фактор, который статьёй не решается.

Сценарий 2 — долгосрочный рост индексного фонда. На очень длинных горизонтах широкие рыночные индексы исторически показывали доходность выше обычных банковских вкладов. Конкретное долгое среднее зависит от рынка, периода измерения, валюты и реинвестирования дивидендов, а прошлые результаты не гарантируют будущих. Математика гарантирует лишь одно: маленькая разница в годовой доходности, пропущенная через десятилетия сложных процентов, перевешивает почти любое другое решение.

Сценарий 3 — влияние комиссии. Фонд с комиссией 1 % и фонд с 0,05 % за 30-летнюю инвестиционную карьеру могут дать конечные капиталы, отличающиеся примерно на четверть. Точнее: 1 − (1,06/1,07)³⁰ ≈ 0,245 — конечный капитал ниже на 24,5 %. На одном и том же рынке и одинаковом горизонте только за счёт разницы в расходах у одного — 800 млн вон, у другого — 600 млн. В этом ядро аргумента про пассивное инвестирование: из переменных, определяющих долгосрочную доходность, наиболее управляемая — именно расходы, и 1 процентный пункт расходов капитализируется так же сильно, как 1 п. п. доходности; плюс расходы, в отличие от доходности, прописаны в договоре и детерминированы.

Сценарий 4 — обратная капитализация: долги. Баланс кредитной карты, крутящийся под 20 % APR, разворачивает стрелку сложных процентов в обратную сторону. При 20 % сумма долга удваивается примерно за 3,6 года (если не платить). Поэтому финансовые консультанты почти всегда ставят погашение дорогих долгов выше пенсионных взносов, превышающих работодательский match: обратная капитализация работает по договорной ставке и потому ещё надёжнее.

Распространённые заблуждения

«Маленькая комиссия — это ерунда». 1 % комиссии против 0 % за 30 лет съедает примерно четверть конечного капитала. Комиссия капитализируется так же, как и доходность, но, в отличие от доходности, она закреплена договором и предсказуема.

«Правило 72 точное». Это приближение ln(2) / ln(1 + r). Лучше всего держится в зоне 5–10 %. При очень низких ставках (1–2 %) точнее 70 или 69, при очень высоких ошибка растёт. Для устного счёта достаточно 72.

«Историческая доходность — это гарантия». Нет. В долгих средних лежит несколько совершенно разных макрорежимов и систематическая ошибка выживания. Используйте ожидаемую доходность как плановое предположение с запасом прочности и обновляйте по мере того, как реальность меняется.

«Сумма взносов важнее срока». На ранней карьере дополнительное время капитализации часто важнее суммы. Отсюда совет «начинайте хоть с малого, но сейчас». У этой интуиции, впрочем, тоже есть нюанс: разница между 30 и 20 годами даёт примерно двукратный рост, и тот, кто может удвоить месячный взнос, отчасти компенсирует поздний старт. Время и сумма — взаимозаменяемые ресурсы, и у всех баланс между ними разный.

Чек-лист

1. Действительно ли это сложный процент? Проверьте, автоматически ли реинвестируются проценты и дивиденды — у части краткосрочных инструментов проценты по-прежнему простые.
2. Ставка и частота? Годовая, ежемесячная, ежедневная, непрерывная — для сравнения переводите в эффективную годовую.
3. Срок удвоения по правилу 72? 72 ÷ ставка (%). Быстрая проверка реалистичности плана.
4. Сколько съедает комиссия? Вычтите её из доходности и прогоните 30-летнюю симуляцию заново.
5. Есть ли долги, которые «капитализируются обратно»? Гасить дорогие долги обычно важнее, чем делать инвестиционные взносы сверх match работодателя.
6. Для очень низких ставок пробовали 70? В зоне 1–2 % оно немного точнее.

Связанный инструмент

Калькулятор сложных процентов Patrache Studio позволяет менять основной капитал, ставку, частоту капитализации и периодические взносы и сразу видеть траекторию — абстрактные формулы становятся конкретным графиком ваших накоплений. «Зеркало» этой математики со стороны долга — Проценты по кредиту: аннуитет, равное погашение и шаровый платёж: именно «обратная» капитализация объясняет, почему в длинном аннуитете проценты первых лет так велики. Если в долгосрочном портфеле есть валютные активы, посмотрите Курсы валют: разница между межбанком, наличкой и переводом — FX-спред в 1 % за 30 лет капитализируется так же, как 1 % комиссии управляющего.

Источники

• Investor.gov Комиссии по ценным бумагам и биржам США (SEC) — https://www.investor.gov/
• Bogleheads Wiki (общественный ресурс по пассивному инвестированию, не регулятор) — https://www.bogleheads.org/wiki/
• Вводные учебники по корпоративным финансам и инвестициям (Brealey/Myers/Allen, Bodie/Kane/Marcus и др.) — выводы временной стоимости денег и связь номинальной, эффективной и непрерывной капитализации.