ดอกเบี้ยทบต้นและกฎของ 72: จำลองการลงทุนระยะยาว

สรุป (TL;DR)

10 ล้านวอน ดอกเบี้ยทบต้น 6% ต่อปี 30 ปี กลายเป็น 57.43 ล้านวอน — 5.74 เท่า ถ้าคุณเคยได้ยินว่า “ดอกเบี้ยทบต้นคือเวทมนตร์” ตัวเลขนี้อาจดูธรรมดาเล็กน้อย ไม่ใช่ 100 เท่าไม่ใช่ 50 เท่า แต่เป็นราว 6 เท่า ดอกเบี้ยทบต้นไม่ใช่เวทมนตร์ที่เพิ่มเร็วแต่เป็นฟังก์ชันที่สะสม อย่างเงียบและไม่เสียทิศ อารมณ์บทความนี้จึงสงบกว่าตื่นเต้น — เขียนให้ใกล้ข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์ของการอดทน 30 ปี

ดอกเบี้ยธรรมดา เพิ่มจำนวนคงที่ทุก period ต่อเงินต้นเท่านั้น FV = PV · (1 + r · t) ดอกเบี้ยทบต้น อนุญาตให้ดอกเบี้ยของแต่ละ period รวมกับเงินต้นแล้วออกดอกเบี้ยอีก FV = PV · (1 + r)ᵗ เหตุที่ความต่างเล็กในปีที่ 1 และห่างมหาศาลในปีที่ 30 อยู่ตรงนี้ คำยกย่องดอกเบี้ยทบต้นที่เล่าว่ามาจาก Einstein (ที่มาไม่ชัดเจน) กล่าวถึงข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์นี้ กฎของ 72 เป็นทางลัดสำหรับคำนวณในใจ เวลาที่เงินทบต้นจะเพิ่มเป็นสองเท่าที่อัตรา r% ประมาณ 72 / r ปี 6% = ราว 12 ปี, 9% = ราว 8 ปี สูตรแม่นยำคือ ln(2) / ln(1 + r) ≈ 0.693 / r ตัวเลขแม่นยำกว่าคือ 69.3 ที่เลือก 72 เพราะหารลงตัวสวยๆ ด้วย 2·3·4·6·8·9·12 ไม่ใช่เพราะแม่นกว่า Approximation ตึงที่สุดในช่วง 5–10% และเพียงพอสำหรับการวางแผนในชีวิตประจำวัน และคณิตศาสตร์เลขชี้กำลังนี้ทำงานเพื่อผู้ออมเท่ากับที่ ทำงานด้วยความโหดร้ายเดียวกันกับหนี้·ค่าธรรมเนียม·เงินเฟ้อ

ภูมิหลังและแนวคิด

เงินมี time value 1 วอนวันนี้ได้รับความนิยมมากกว่า 1 วอนอีก 1 ปี เพราะ 1 วอนวันนี้สามารถลงทุน บริโภค หรือเก็บสำรองสำหรับความไม่แน่นอน ดอกเบี้ยคือราคาของเวลา ผู้ให้กู้เสียสละการบริโภคปัจจุบันและได้จำนวนมากขึ้นภายหลัง ผู้กู้ได้การบริโภคปัจจุบันและคืนมากขึ้นภายหลัง

ดอกเบี้ยธรรมดา จัดการแต่ละ period อิสระ เงินต้น PV อัตราต่อ period r period t → FV = PV · (1 + r · t) ใส่ 100,000 วอนที่ดอกเบี้ยธรรมดา 5% ปีที่ 1 = 105,000, ปีที่ 2 = 110,000, ปีที่ 3 = 115,000 ดอกเบี้ยออกที่ เงินต้น เท่านั้น ดอกเบี้ยเก่าไม่ออกดอกเบี้ย

ดอกเบี้ยทบต้น reinvest ดอกเบี้ยของแต่ละ period FV = PV · (1 + r)ᵗ 100,000 วอนเดียวกันที่ทบต้น 5% ปีที่ 1 = 105,000, ปีที่ 2 = 110,250, ปีที่ 3 = 115,762.5 วอน ความต่างเล็กช่วงต้น หลายสิบปีผ่านไปครอบงำผล

Compounding frequency เปลี่ยนผลแม้อัตรา nominal เดียวกัน nominal 6% compound รายเดือนใช้ 0.5% เดือน 12 ครั้ง effective annual rate = (1 + 0.06/12)¹² − 1 ≈ 6.17% compound รายวัน ≈ 6.18% continuous compounding (limit ทางคณิตศาสตร์) ให้ eʳ − 1 ≈ 6.18% ความต่างระหว่างรายเดือนกับ continuous มีจริงแต่เล็ก ความต่างระหว่าง รายปีกับ continuous คือช่องว่างที่เรียกใน disclosure ว่า “nominal vs effective” หรือในภาษาอังกฤษ “APR vs APY”

กฎของ 72 ประมาณเวลาทบต้นของสินทรัพย์ที่จะเพิ่มเป็นสองเท่า แก้ (1 + r)ᵗ = 2 ได้ t = ln(2) / ln(1 + r) ที่ r เล็ก ln(1 + r) ≈ r จึง t ≈ ln(2) / r ≈ 0.693 / r เปลี่ยน r เป็น % → t ≈ 69.3 / r% ปัดเป็น 72 ได้ตัวเลขหารลงตัวกับ integer หลายตัว — อ่านง่ายแลกความแม่นยำเล็กน้อย ช่วง 5–10% error น้อยกว่า 1 ปี ที่อัตราต่ำมาก 70 หรือ 69 แม่นกว่าเล็กน้อย

เปรียบเทียบและข้อมูล

เริ่มด้วย 10 ล้านวอน ทบต้นรายปี 30 ปี FV โดยประมาณตามอัตราตัวแทน

อัตราต่อปี	FV 30 ปีภายหลัง (approx)	เวลาเพิ่มเป็น 2 เท่า (กฎ 72)
3%	ราว 24.3 ล้านวอน	ราว 24 ปี
6%	ราว 57.4 ล้านวอน	ราว 12 ปี
9%	ราว 132.7 ล้านวอน	ราว 8 ปี

สองจุดเด่นชัดในตาราง หนึ่ง ข้าม 3% ไป 6% จำนวนสุดท้ายโตราวสองเท่า ข้าม 6% ไป 9% โตอีกเกือบสองเท่า — ฟังก์ชัน exponential ในอัตรา สอง คอลัมน์เวลาเพิ่มเป็น 2 เท่าแสดงรูปร่างเดียวกันสัญชาตญาณ ที่ 9% ใน 30 ปีเพิ่มเป็น 2 เท่าประมาณ 4 ครั้ง (เริ่ม 1 → 2 → 4 → 8 → 16 หน่วย) ที่ 3% ผ่าน 1 ครั้งเพียง

การคำนวณเดียวกันทำงาน ในฝั่งค่าใช้จ่าย พอร์ตที่จะโตที่ 7% ต่อปี หัก 1% fee อัตราเติบโตของนักลงทุนเป็น 6% ผ่าน 30 ปี สินทรัพย์สุดท้ายเทียบกับทางเลือกไม่มี fee ลดราว 24–25% (โดยประมาณ 1 − (1.06/1.07)³⁰) ค่าธรรมเนียมเล็ก·เงินเฟ้อ·ดอกเบี้ยหนี้ถูก compound ด้วยพลัง exponential เดียวกัน

สถานการณ์จริง

สถานการณ์ 1 — วางแผนเกษียณ A อายุ 25 และ B อายุ 35 นำเข้าที่อายุ 65 เดือนละ 300,000 วอนเท่ากัน ทบต้น 7% ต่อปี ยอด A ที่อายุ 65 ประมาณ 746 ล้าน ยอด B ประมาณ 365 ล้าน A นำเข้ารวม 144 ล้าน B 108 ล้าน ต่างเพียง 33% แต่สินทรัพย์เกษียณ ราวสองเท่า ไม่กี่ปีแรกถูกทบต้นผ่านช่วงชีวิตที่เหลือ 2–3 ทศวรรษ จึงสำคัญแบบไม่สมมาตร ผมเคยแสดงตัวเลขนี้ให้เพื่อนวัยเดียวกันสองคน คนหนึ่งเพิ่ม IRP auto-transfer จาก 50,000 เป็น 250,000 ต่อเดือนตั้งแต่เดือนหน้า อีกคนเลื่อนการตัดสินใจบอกว่า “30 ปีฟังดูไม่จริง” — ตัวแปรมนุษย์ที่บทความนี้แก้ไม่ได้ตลอดกาล

สถานการณ์ 2 — การเติบโตระยะยาวของ index fund ใน horizon ยาว index fund ตลาดกว้างในอดีตให้ผลตอบแทนในช่วงที่สูงกว่าดอกเบี้ยเงินฝากทั่วไป ค่าเฉลี่ยระยะยาวแน่นอนเปลี่ยนตามตลาด·ช่วงวัด·สกุล·การ reinvest เงินปันผล และผลตอบแทนในอดีตไม่รับประกันอนาคต คณิตศาสตร์รับประกันหนึ่งอย่าง — ความต่างเล็กในผลตอบแทนรายปีเมื่อ compound หลายสิบปีครอบงำเกือบทุกการตัดสินใจอื่น

สถานการณ์ 3 — ผลของค่าธรรมเนียม เปรียบ fund fee 1% กับ fund 0.05% ตลอดอาชีพการลงทุน 30 ปี สินทรัพย์สุดท้ายอาจลดราว 1/4 เฉพาะเจาะจง 1 − (1.06/1.07)³⁰ ≈ 0.245 — สินทรัพย์สุดท้ายถูกหั่น 24.5% ใน market และ 30 ปีเดียวกัน ฝั่งหนึ่งได้ 800 ล้าน อีกฝั่ง 600 ล้านด้วยเหตุผลความต่างต้นทุน Passive investing discourse core argument มาจากที่นี่ ตัวแปรที่ควบคุมได้แน่นอนที่สุดในผลตอบแทนระยะยาวคือ ต้นทุน และ 1 percentage point ของต้นทุน compound แรงเท่ากับ 1 percentage point ของผลตอบแทน — และต้นทุนไม่เหมือนผลตอบแทน เขียนในสัญญาเป็น deterministic

สถานการณ์ 4 — compound กลับด้าน: หนี้ หนี้บัตรเครดิตที่ revolve ที่ 20% APR ชี้ compound ทิศตรงข้าม 20% ราว 3.6 ปี balance จะเพิ่มเป็น 2 เท่า (ถ้าไม่ชำระ) ที่ปรึกษาการเงินเกือบทุกคนจัด ชำระหนี้ดอกเบี้ยสูง ก่อนเงินเกษียณ (นอกเหนือ employer match limit) ด้วยเหตุนี้ คณิตศาสตร์ compound ทำงานแน่นอนกว่าในทิศกลับด้าน (อัตราตามสัญญา)

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

“ค่าธรรมเนียมเล็กไม่สำคัญ” fee 1% ต่อปี vs 0% ลดสินทรัพย์สุดท้าย 30 ปีประมาณ 1/4 ค่าธรรมเนียม compound แรงเท่ากับผลตอบแทน ต่างจากผลตอบแทนตรงที่ เขียนในสัญญาและคาดเดาได้

“กฎของ 72 แม่นยำ” เป็น approximation ของ ln(2) / ln(1 + r) ตึงสุดช่วง 5–10% ที่อัตราต่ำมาก (1–2%) 70 หรือ 69 แม่นกว่าเล็กน้อย สำหรับคำนวณในใจประจำวัน 72 พอ

“ผลตอบแทนในอดีตรับประกัน” ไม่ใช่ ค่าเฉลี่ยระยะยาวผสมระบบ macro ต่างกันหลายทศวรรษและ survivorship bias ใช้ผลตอบแทนที่คาดไว้เป็น planning assumption ที่มี safety margin จงใจ อัปเดต assumption เมื่อความจริงอัปเดต

“จำนวนเงินนำเข้าสำคัญกว่าเวลา” ในช่วงต้นของ career เวลาเพิ่ม compound ครอบงำจำนวนที่เพิ่ม คือ core intuition ของคำแนะนำ “เริ่มเล็กๆ ตอนนี้” แต่ intuition นี้ควร verify ด้วย 30 ปี vs 20 ปีต่างกันราว 2 เท่า สำหรับคนที่สามารถเพิ่มเงินนำเข้ารายเดือน 2 เท่า การเริ่มช้าชดเชยได้บางส่วน เวลาและจำนวนเป็นทรัพยากรแลกกันได้ และใครมีข้างไหนมากกว่าต่างกันตามคน

เช็กลิสต์

1. เป็น compound จริงไหม ตรวจเงื่อนไขผลิตภัณฑ์ว่า reinvest ดอกเบี้ย·เงินปันผลอัตโนมัติไหม — ผลิตภัณฑ์ระยะสั้นยังเป็น simple เยอะ
2. อัตราและ frequency ปี·เดือน·วัน·continuous เปลี่ยนเป็น effective annual rate สำหรับเปรียบเทียบ
3. เวลาเพิ่ม 2 เท่าตามกฎ 72 72 ÷ อัตรา (%) ตรวจ feasibility ของแผนระยะยาวเร็วๆ
4. Fee หั่นสินทรัพย์สุดท้ายเท่าไร ลบ fee ออกจากผลตอบแทน จำลอง 30 ปีซ้ำ
5. หนี้กำลัง compound ย้อนไหม ชำระหนี้ดอกเบี้ยสูงปกติมาก่อนเงินนำเข้าเกิน employer match
6. ที่อัตราต่ำลองใช้ 70 ไหม 1–2% ใช้ 70 แม่นกว่าเล็กน้อย

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

Compound Interest Calculator ของ Patrache Studio จำลองโดยเปลี่ยนเงินต้น·อัตรา·compounding period·การฝากเป็นงวด เปลี่ยนสูตรข้างต้นเป็นกราฟของเส้นทางการออมที่ specific ของคุณ กระจกฝั่งหนี้ ของคณิตศาสตร์เดียวกันคือ ดอกเบี้ยเงินกู้ — ดอกเบี้ยช่วงต้นของเงินกู้ผ่อนเท่ากันระยะยาวหนักเพราะลูกศร compound ของฝั่งผู้กู้ หากพอร์ตระยะยาวมีสินทรัพย์ต่างประเทศ การคำนวณอัตราแลกเปลี่ยน ครอบคลุมชั้นต้นทุน FX — FX spread 1% compound เท่ากับ management fee 1% ใน 30 ปี

อ้างอิง

• U.S. Securities and Exchange Commission (SEC), Investor.gov — https://www.investor.gov/
• Bogleheads Wiki (reference ชุมชน passive investing พื้นฐาน ไม่ใช่ regulator ทางการ) — https://www.bogleheads.org/wiki/
• ตำราการเงินองค์กร·investment (Brealey/Myers/Allen, Bodie/Kane/Marcus ฯลฯ) การ derive time value of money และความสัมพันธ์ nominal·effective·continuous compounding